「ベーシック圏論」に関するメモ その2
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モノイドの圏
モノイドも圏になる
ここでは文字列の連結のモノイドを考える
対象:
射:文字列
合成:(文字列Sの後ろにTを連結する)
モノイドの定義から、圏の結合法則と単位法則が成り立つことは明らか
ただし、モノイドは逆元が無いので逆射は常に存在するとは限らない
(文字列の例がわかりにくかったら行列の積を例に出すと分かりやすいと思う)
前順序の圏
前順序も圏になる
例えば集合の包含関係を考える(はべき集合)
対象:
射:
合成:のとき、
前順序の推移律よりこのような合成は存在する
恒等射:
これは前順序の反射律そのもの
以上より集合の包含関係は圏になる
射というと単語の響きから写像っぽいものだけを連想してしまいがちだが、16~18ページの例は射がそれだけでないことを気づかせてくれた
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双対圏
双対圏の定義だけを見ても「ふーん?」という感じだが、これを実際の圏で確かめてみると面白そう
例えば「線形空間の双対空間とにおける双対圏が一致する」らしい
(双対空間を復習したら証明する)