SHIROBAKO大好き人間のブログ

概要
14ページ
15ページ
- 圏論のメリット

概要

最近ベーシック圏論の勉強会をやっています。

勉強会の中で学んだことをそのままにしておくのはもったいないなと思い、メモとして残しておくことにします。

ベーシック圏論普遍性からの速習コース

作者:Tom Leinster
出版社/メーカー: 丸善出版
発売日: 2017/01/29
メディア: 単行本（ソフトカバー）

勉強会の方針が「集合の圏と線形空間の圏を例として用いることで圏論の理解を深める」なので、このメモもその2つの圏に関することが多いです。

以下では集合の圏を $Set$ 、体 $K$ 上の線形空間の圏を $Vect_{K}$ と表します

14ページ

定義域と値域

例えば $Set$ において $f(x) = x^{2} (x \in \mathcal{R}^{n})$ という写像を考えた場合、

射 $f$ の定義域は $\mathcal{R}^{n}$ 、値域は $\mathcal{R}^{n}_{+}$

あるいは定義域が $\mathcal{R}^{n}$ で、値域は $\mathcal{R}^{n}$ と考えることもできる

集合の圏 $Set$ が圏であることの証明

対象：集合
射：集合 $A$ から集合 $B$ への写像 $f$ （ $f:A \to B$ ）
合成： $f$ を $A$ から $B$ への写像、 $g$ を $B$ から $C$ への写像としたとき、 $(g \circ f) (A) = g(f(A))$ とする
恒等射： $f(A) = A$ となるような写像 $f$

以上を $Set$ の圏の定義としたとき、これが結合法則と単位法則を満たすか確かめる。

結合法則

集合 $A,B,C,D$ に対して、射 $f,g,h$ を $f:A \to B, g:B \to C, h:C \to D$ とする

任意の元 $x \in A$ について

$\begin{eqnarray} ( (h \circ g)\circ f)(x) &=& (h \circ g)(f(x)) \\\ &=& h(g(f(x))) \\\ &=& h( (g \circ f)(x)) \\\ &=& (h \circ (g \circ f))(x) \end{eqnarray}$

となるので結合法則を満たす

単位法則

写像 $f$ を $f:A \to B$ 、 $A$ の恒等射を $id_A$ 、 $B$ の恒等射を $id_B$ と表す

このとき、

$\begin{eqnarray} (f \circ id_{A})(x) &=& f(id_{A}(x)) \\\ &=& f(x) \\\ \\\ (id_{B} \circ f)(x) &=& id_{B}(f(x)) \\\ &=& f(x) \end{eqnarray}$

となるので、 $f \circ id_{A} = f = id_{B} \circ f$ が成り立つ

よって単位法則も成り立つ

線形空間の圏 $Vect_{K}$ が圏であることの証明

対象：体 $K$ 上の元 $x$ （ $x \in K$ ）
射：線形空間 $V$ から線形空間 $W$ への線形写像 $f$
合成： $f$ を $U$ から $V$ への線形写像、 $g$ を $V$ から $W$ への線形写像としたとき、 $u \in U$ に対して $(g \circ f)(u) = g(f(u))$
恒等射： $u \in U$ に対して $f(u) = u$ となるような線形写像 $f$

以上を圏 $Vect_{K}$ の定義としたとき、これが結合法則と単位法則を満たすか確かめる

まずは合成 $g \circ f$ が線形写像になっていることを確かめる

$f$ は線形写像なので以下の線形性を持つ（ $g$ も同様）
$f(a+b) = f(a) + f(b)$
$f(la) = lf(a)$
（ただし、 $a,b \in U, l \in K$ ）

この性質を用いると任意の $a,b \in U$ に対して以下のことが示せる

$\begin{eqnarray} (g \circ f)(a + b) &=& g(f(a + b)) \\\ &=& g(f(a) + f(b))\\\ &=& g(f(a))+g(f(b)) \\\ &=& (g \circ f)(a) + (g \circ f)(b) \end{eqnarray}$